《一口气学完初中数学，全程干货无废话，快速学完初中数学》学习笔记

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2026/10/24日 start to learn

01-初中数学一（有理数和整式的加减）基础篇

有理数，整式的加减

第一部分有理数

一、正数和负数

1. 正数和负数的概念

正数

大于0的数，如3，3.18%，3.5等

负数

一个数前面加上符号“-”(负）的数，如-3，-2.7%，-4.5，-1.2等；

0

既不是正数，也不是负数，而是正数和负数之间的一个数，即为正数和负数的分界线。

注意

一个数的前面的“+”，“-”号叫做它的符号；
正数前面的“+”号通常省略不写，一个数前面带“+”的不一定是正数，如：+(-1)=-1；
负数前面的“-”号不能省略，一个数前面带“-”的不一定是负数，如：-(-1)=1。

2. 什么是具有相反意义的量

意义相反：如增加和减少，存入和支出等；
同一类量：如增加50元和减少50KG不是同一类，不是具有相反意义的量；
具有数量：如存入50元和支出50元。

二、有理数

1. 定义

整数，分数的定义

正整数，0，负整数统称为整数；正分数，负分数统称为分数。

有理数的定义

整数和分数统称为有理数。

注意

有限小数和无限循环小数可以化为分数，他们也是有理数，如： 0.2 = 1/5 0.33…（3循环）= 1/3 ……

2. 有理数的分类

按定义分类

有理数
- 整数
  - 正整数，如 1，2，3，…
  - 0
  - 负整数，如 -1，-2，-3，…
- 分数
  - 正分数，如 0.1，5.32，0.5，…
  - 负分数，如 -0.5，-2.5，-150.25，…

按符号分类

有理数
- 正数
  - 正整数，如 1，2，3，…
  - 正分数，如 0.1，5.32，0.5，…
- 0，既不是正数，也不是负数
- 负数
  - 负整数，如 -1，-2，-3，…
  - 负分数，如 -0.5，-2.5，-150.25，…

3. 数轴的定义

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
原点：数轴上表示 0 的点。
正方向：通常规定向右为正方向（箭头指向）。
单位长度：相邻两个刻度之间的距离（如 0 到 1 的距离）。

数轴要满足的要求

在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
选取适当的长度为单位长度，原点向右为正，向左为负。

5. 相反数的定义

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是0。

6. 相反数的特性

若a、b互为相反数，则a+b=0，反之若a+b=0，则a与b互为相反数。
相反数是成对出现，不能单独出现。
数字a的相反数是-a，-a的相反数是a。这里的a不一定是正数，所以-a也不一定就是负数。如：a=0时，则-a=0，即a=-a；

归纳总结

在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数，如：-(+5)=-5，-(-5)=+5，-0=0
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等。

7. 绝对值的定义

数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作 |a|。

8. 绝对值的代数意义

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即

如果a＞0，那么|a|=a；
如果a=0，那么|a|=0；
如果a＜0，那么|a|=-a；

二、有理数

9. 绝对值的几何意义

一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。

离原点的距离越大，绝对值越大；
离原点的距离越小，绝对值越小；

10. 绝对值的性质

绝对值具有非负性，绝对值总是大于或等于零；
如果若干个非负数的和为零，那这个若干个非负数都一定为零。如果 |a| + |b| + |c| = 0，那么 a=0, b=0, c=0；（0+0=0模型）（考试常考）；
若 |a| = |b|，那么 a=b 或 a=-b；

11. 有理数的比较

正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小；

归纳总结

同号两数比较大小，要考虑它们的正负；异号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。

三、有理数的加减法

1. 有理数的加法法则

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，如：(-3) + (-5) = -(3+5) = -8；
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，如：(-5) + 4 = -(5-4) = -1；
一个数同0相加，仍得这个数，如：(-2) + 0 = -2。

2. 有理数的加法运算律

加法交换律

两个数相加，交换加数的位置，和不变，a+b=b+a，如：(-3) + (-5) = (-5) + (-3)；

加法结合律

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，(a+b) +c = a+ (b+c)，如：[ (-5) +4] + (-3) = (-5) +[4+ (-3) ]；

3. 有理数的减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数，也可以表示成： a-b=a+ (-b) ，如： (-3) - (-5) = (-3) +5=2；

4. 有理数的加减混合运算

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算， a+b-c=a+b+ (-c) ，如： (-3) +4- (-5) = (-3) +4+5=6；

5. 有理数的加减法在考试中的题型

加法运算
减法运算
符号问题
加减混合运算
实际应用题

四、有理数的乘除法

1. 有理数的乘法法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，如： (-3) × (-5) = + (3×5) = 15；又如： (-3) × (5) = - (3×5) = -15；
任何数与0相乘，都得0，如： (-5) × 0 = 0；

2. 有理数的乘法运算律

乘法交换律

两数相乘，交换因数的位置，积相等，ab=ba，如： (-3) ×6=6× (-3) =-18；

乘法结合律

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等， (ab) c=a (bc) ，如：[ (-5) ×4]× (-3) = (-5) ×[4× (-3) ]；

乘法分配律

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两数相乘，再把积相加，a (b+c) =ab+ac，如： 3×[(-5)+4]=3×(-5) + 3×4

3. 有理数的除法法则

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数， a÷b=a· 1/b (b≠0) 如：8÷ (-4) =8× (-1/4) =-2；
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0；

4. 倒数

倒数的定义

乘积是1的两个数互为倒数。即如果 a·b=1，那么 a 和 b 互为倒数。

倒数的性质

0没有倒数。
倒数等于本身的数是 1 和 -1。
求分数的倒数，把分子分母颠倒即可；求整数的倒数（0除外），把整数看作分母为1的分数再颠倒。
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（符号不变）。
互为倒数的两个数同号。
示例：(-1/3) 的倒数是 -3，因为 (-1/3) × (-3) = 1。

归纳总结

正正得正；
正负得负；
负正得负；
负负得正；
乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积。
乘积是1的两个数互为倒数，如：(-1/3) × -3 = 1。

有理数的乘除法在考试中的题型

乘除法法则
混合运算
含绝对值的运用
实际应用题

五、有理数的乘方

1. 有理数的乘方定义

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 aⁿ 中，a叫做底数，n叫做指数，当 aⁿ 看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。

↓ n个a a·a·a·a·…·a，记作 aⁿ，读作“a的n次方”

底数（a）：相同的因数。
指数（n）：相同因数的个数。
幂：乘方的结果。

2. 有理数的乘方法则

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，如： (-4)³ = -64，又如： (-2)⁴ = 16；
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3. 有理数的混合运算

先乘方，再乘除，最后加减，如：2× (-4)² +4× (-2) +8 = 2×16+ (-8) +8 = 32；
同级运算，从左到右进行，
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行，如：[ (-4)² +4]× (-2) = (16+4) × (-2) = -40。

4. 科学计数法的定义

把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学计数法，如：486000000 = 4.86×10⁸。

5. 近似数

准确数：这个数的最原始数据，没有经过约分、化简、或者四舍五入等任何运算之前的表达方法，如：参加会议的有513人；
近似数：经过四舍五入、进一法或者去尾法等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数，如：我国人口有13亿人；

6. 近似数的精确度

近似数与准确度的接近程度，可以用精确度表示，按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有

π≈3（精确到个位），
π≈3.1（精确到0.1，或叫做精确到十分位），
π≈3.14（精确到0.01，或叫做精确到百分位），
π≈3.142（精确到0.001，或叫做精确到千分位）……

有理数的乘方在考试中的题型

有理数乘方的概念
有理数乘方的运算
偶次乘方的非负性
含乘方的混合运算
乘方的运用规律
科学记数法的表示
近似数的表示
精确度的运用

六、第一部分小结

知识结构图

有理数
- 点与数的对应 → 数轴 → 比较大小
- 有理数的运算
- 加减乘除乘方
- 运算律
  - 交换律、结合律（适用于加法、乘法）
  - 分配律（适用于乘法→加法）

第二部分整式的加减

一、整式

1. 单项式的概念

是数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，如：100t，0.8p，mn等；

系数的概念

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，如：单项式100t，ah，-n的系数分别是100，1，-1；

次数的概念

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，如：100t，字母t的指数是1，100t的次数是1，同理，mn的次数是2。

2. 多项式的概念

几个单项式的和叫做多项式

项的概念

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，

如：多项式x²+2x+6的项是x²，2x和6，其中6是常数项；

多项式的次数

多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数，

如：多项式x²+2x+6中次数最高项是x²，这个多项式的次数是2。

3. 整式的概念

单项式与多项式统称整式，

如：单项式100t，0.8p，mn，以及多项式v+3，x²+2x+6。

二、整式的加减

1. 同类项的概念

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，

如：100t与-200t，3x²与2x²，3ab²与-4ab²；

合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2. 合并同类项运算律示例

3x²+3x+8+5x-x²-5 =3x²-x²+3x+5x+8-5 （交换律） = (3x²-x²) + (3x+5x) + (8-5) （结合律） = (3-1) x²+ (3+5) x+ (8-5) （分配律） =2x²+8x+3

3. 整式运算去括号时符号变化规律

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如：+20 (x-5) =+20x-100；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，如：-20 (x-5) =-20x+100。

4. 整式加减的运算法则

几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

整式在考试中的题型

整式相关概念
同类项与合并同类项
去括号
整式的加减运算
化简求值
综合运用

三、第二部分小结

知识结构图

用字母表示数 (\rightarrow) 列式表示数量关系
列式表示数量关系 (\rightarrow) 整式
- 包含：单项式、多项式
整式 (\xrightarrow{\text{合并同类项、去括号}}) 整式加减运算

02-初中数学二（一元一次方程和几何图形初步）基础篇

一元一次方程和几何图形初步

第一部分一元一次方程

一、从算术到方程

1. 方程的概念

含有未知数的等式叫做方程，如：5x=20；

2. 一元一次方程的概念

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，如：150+15x=300。

归纳总结

实际问题 (\xrightarrow{\text{设未知数}}) 列方程 (\xrightarrow{\text{}}) 一元一次方程

mermaid

graph TD
    A[实际问题] -- 设未知数<br>&<br>列方程 --> C[一元一次方程]

3. 方程的解的概念

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解，

如：150+15x=300，当x=10时，150+15x的值是300，这时方程等号左右两边相等，x=10叫做方程的解，即方程中未知数x的值应是10。

4. 等式的性质

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，如果 a=b，那么 a±c=b±c。
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，如果 a=b，那么 ac=bc；如果 a=b（c≠0），那么 a/c = b/c。
二、解一元一次方程的方法

1. 合并同类项

mermaid

graph TD
    A[x+2x+4x=70] -- 合并同类项 --> B[7x=70]
    B -- 系数化为1 --> C[x=10]

2. 移项

mermaid

graph TD
    A[5x+20=2x+29] -- 移项 --> B[5x-2x=29-20]
    B -- 合并同类项 --> C[3x=9]
    C -- 系数化为1 --> D[x=3]

《一口气学完初中数学，全程干货无废话，快速学完初中数学》学习笔记 ​

01-初中数学一（有理数和整式的加减）基础篇 ​

第一部分 有理数 ​

一、正数和负数 ​

1. 正数和负数的概念 ​

正数 ​

负数 ​

0 ​

注意 ​

2. 什么是具有相反意义的量 ​

二、有理数 ​

1. 定义 ​

整数，分数的定义 ​

有理数的定义 ​

注意 ​

2. 有理数的分类 ​

按定义分类 ​

按符号分类 ​

3. 数轴的定义 ​

数轴要满足的要求 ​

5. 相反数的定义 ​

6. 相反数的特性 ​

归纳总结 ​

7. 绝对值的定义 ​

8. 绝对值的代数意义 ​

二、有理数 ​

9. 绝对值的几何意义 ​

10. 绝对值的性质 ​

11. 有理数的比较 ​

归纳总结 ​

三、有理数的加减法 ​

1. 有理数的加法法则 ​

2. 有理数的加法运算律 ​

加法交换律 ​

加法结合律 ​

3. 有理数的减法法则 ​

4. 有理数的加减混合运算 ​

5. 有理数的加减法在考试中的题型 ​

四、有理数的乘除法 ​

1. 有理数的乘法法则 ​

2. 有理数的乘法运算律 ​

乘法交换律 ​

乘法结合律 ​

乘法分配律 ​

3. 有理数的除法法则 ​

4. 倒数 ​

倒数的定义 ​

倒数的性质 ​

归纳总结 ​

有理数的乘除法在考试中的题型 ​

五、有理数的乘方 ​

1. 有理数的乘方定义 ​

2. 有理数的乘方法则 ​

3. 有理数的混合运算 ​

4. 科学计数法的定义 ​

5. 近似数 ​

6. 近似数的精确度 ​

有理数的乘方在考试中的题型 ​

六、第一部分小结 ​

知识结构图 ​

第二部分 整式的加减 ​

一、整式 ​

1. 单项式的概念 ​

系数的概念 ​

次数的概念 ​

2. 多项式的概念 ​

项的概念 ​

多项式的次数 ​

3. 整式的概念 ​

二、整式的加减 ​

1. 同类项的概念 ​

合并同类项 ​

2. 合并同类项运算律示例 ​

3. 整式运算去括号时符号变化规律 ​

4. 整式加减的运算法则 ​

整式在考试中的题型 ​

三、第二部分小结 ​

知识结构图 ​

02-初中数学二（一元一次方程和几何图形初步）基础篇 ​

第一部分 一元一次方程 ​

《一口气学完初中数学，全程干货无废话，快速学完初中数学》学习笔记

01-初中数学一（有理数和整式的加减）基础篇

第一部分有理数

一、正数和负数

1. 正数和负数的概念

正数

负数

0

注意

2. 什么是具有相反意义的量

二、有理数

1. 定义

整数，分数的定义

有理数的定义

注意

2. 有理数的分类

按定义分类

按符号分类

3. 数轴的定义

数轴要满足的要求

5. 相反数的定义

6. 相反数的特性

归纳总结

7. 绝对值的定义

8. 绝对值的代数意义

二、有理数

9. 绝对值的几何意义

10. 绝对值的性质

11. 有理数的比较

归纳总结

三、有理数的加减法

1. 有理数的加法法则

2. 有理数的加法运算律

加法交换律

加法结合律

3. 有理数的减法法则

4. 有理数的加减混合运算

5. 有理数的加减法在考试中的题型

四、有理数的乘除法

1. 有理数的乘法法则

2. 有理数的乘法运算律

乘法交换律

乘法结合律

乘法分配律

3. 有理数的除法法则

4. 倒数

倒数的定义

倒数的性质

归纳总结

有理数的乘除法在考试中的题型

五、有理数的乘方

1. 有理数的乘方定义

2. 有理数的乘方法则

3. 有理数的混合运算

4. 科学计数法的定义

5. 近似数

6. 近似数的精确度

有理数的乘方在考试中的题型

六、第一部分小结

知识结构图

第二部分整式的加减

一、整式

1. 单项式的概念

系数的概念

次数的概念

2. 多项式的概念

项的概念

多项式的次数

3. 整式的概念

二、整式的加减

1. 同类项的概念

合并同类项

2. 合并同类项运算律示例

3. 整式运算去括号时符号变化规律

4. 整式加减的运算法则

整式在考试中的题型

三、第二部分小结

知识结构图

02-初中数学二（一元一次方程和几何图形初步）基础篇

第一部分一元一次方程